Новые цифры - новые горизонты
Механический способ счета был единственным до XI века, и это было связано с использованием при вычислениях крайне неудобных римских цифр. К числу механических методов счета относились: счет на пальцах, излагавшийся во многих специальных пособиях; счеты (рама с костяшками, нанизанными на горизонтальные стержни или помещенными между ними), один из вариантов которых использовался для денежных расчетов при дворе английского короля; счетные бирки с зарубками различной глубины.
Первым, кто ввел в западный христианский мир так называемые цифры гобар, был Герберт, написавший символы на костяшках счетов. Однако не ясно, была ли ему полностью понятна идея позиционной ценности числа.
В начале XII века Аделард из Бата перевел трактат аль-Хорезми об индийской системе счета, известной впоследствии под названием «алго-ризм». Значение этой системы полностью оценил лишь Леонардо Фибоначчи (1170—1228) — сын купца из Пизы, получивший образование у мусульманского учителя в Бужи и затем много путешествовавший по Египту, Сирии и Греции. Его старания не увенчались, однако, общим признанием новой системы. Счеты вполне удовлетворяли нужды в вычислениях, а индийские цифры довольно легко можно было подделать, чем и объясняется запрещение использовать их в расчетах вплоть до XVI века. Широкое осознание новых возможностей для математики с использованием новых цифр пришло значительно позднее.
Техника вычислений, известная в прошлом как «логистика», была в зачаточном состоянии. Процесс вычитания был заимствован Фибоначчи у арабов и до наших дней не изменялся. Умножение выполнялось как последовательное сложение, причем последующее умножение результата на два представляло отдельную операцию. Деление доставляло особенно много беспокойства: Герберт дал не менее десяти способов его выполнения, сводившихся в основном к последовательным вычитаниям. Фибоначчи, однако, мог уже дать детальные методы извлечения квадратного и кубического корней.
Арифметика состояла из теории чисел, развитой еще пифагорийцами
и излагавшейся в трактатах Фибоначчи и Боэция. Имя Фибоначчи связано также с зарождением алгебры, название которой происходит из трактата аль-Хорезми «Китаб аль-джебр валь-мукабала», переведенного Робертом Честерским. В своем трактате «Флос» (1225) Фибоначчи обобщил метод замены цифр буквами при решении задач (примерно в то же время это сделал немецкий монах-домини-канец Иордан Неморарий) и ввел отрицательные величины для решения задач, возникающих при денежных расчетах.
С именами этих же математиков связано развитие стереометрии. В работе Фибоначчи были впервые сформулированы некоторые правила, например вычисления объема усеченной пирамиды, хотя нет полной уверенности в том, что именно он первым открыл их. Иордан Неморарий занимался изучением теории проекций фигур на плоскость, необходимой для пользования астролябией и при составлении карт.
Тригонометрия, несмотря на некоторые переводы с арабского, оставалась почти неизвестной. Однако понятие бесконечной величины, отвергавшееся Аристотелем, но признанное в западном христианском мире, послужило некоторым мыслителям стимулом при создании дифференциального и интегрального исчислений. К сожалению, результаты, полученные учеными Парижской школы в математической теории бесконечностей (около 1300 года), оказались к XV веку забытыми, и Ферма и Кавальери пришлось выводить их заново,